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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 37

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

37. ∫ 0 π 4 4 s e n   x . cos ⁡ x d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 0 π 4 4 s e n   x . cos ⁡ x d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = s e n   x

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = cos ⁡ x d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 0 π 4 4 s e n   x . cos ⁡ x d x = 4 ∫ 0 π 4 u d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Resolvendo nossa integral, teremos:

4 ∫ 0 π 4 u d u = 4 . u 2 2 π 4 0

4 ∫ 0 π 4 u d u = 2 . s e n 2 x π 4 0

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

4 ∫ 0 π 4 u d u = 2 . s e n 2 π 4 - s e n 2 0

∴ ∫ 0 π 4 4 s e n   x . cos ⁡ x d x = 1

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 0 π 4 4 s e n   x . cos ⁡ x d x = 1

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