Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 72
72- Calcule
a)
b)
Passo 1
a)Uma coisa muito interessante sobre integrais é que quando temos uma integral definida que vai de –a até a, podemos checar a paridade da função que está dentro da integral para resolvê-la sem fazer contas, pois|:
Se a função for impar :
Mas se for par é :
Se não for nenhuma das duas só nos resta calcular mesmo, mas esse é um bom truque para resolver algumas integrais sem ter que fazer conta.
Passo 2
Agora vamos testar a paridade da função em questão, mas antes vamos lembrar o que significa uma função ser impar ou par:Uma função é par se para todo x vale a seguinte propriedade:
E é impar se para todo x vale a seguinte propriedade:
Para fazer o teste basta calcular a função em menos x e simplificar, desta forma:
Sendo assim nossa função é impar.
Utilizando a propriedade acima citada, temos que:
Passo 3
b) Bom, como estamos tratando de substituição simples, temos que encontrar uma forma de simplificar expressão e tentar encontrar a substituição. Para usá-la, precisamos localizar e na integral. Lembrando que a derivada de é , e com isso já temos uma idéia da função que precisamos achar.
Vamos separar o da seguinte forma:
Agora nós já temos a derivada de , porém se fizermos a substuição:
Teríamos:
O que não nos ajudaria em nada a resolver o problema, pois teriamos duas funções em variáveis diferentes para resolver, então vamos pensar em uma forma de transformar esse em alguma coisa que envolva o .
Passo 4
Para isso, vamos utilizar a seguinte propriedade de potenciação:
E combinando isso com a seguinte identidade trigonométrica, obtemos o resultado que esperavamos, ou seja, uma função que não tem nenhum sobrando.
Após isso temos que a nossa expressão assume a seguinte forma:
Agora realizando a substituição
Temos:
Passo 5
Bem, agora nos resta resolver essa bendita integral:
Utilizando a fórmula de resolução da integral polinomial:
Temos que:
Voltando da variável u para x, temos:
Como , temos que o resultado será: