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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 71

71-a) Seja

I = ∫ 0 a f x f x + f a - x d x

Mostre que I = a 2 .

[Sugestão: Faça u = a - x e, então, observe a diferença entre o integrando resultante e o número 1.]

b) Use o resultado de (a) para encontrar

∫ 0 3 x x + 3 - x   d x

c) Use o resultado de (a) para encontrar

∫ 0 π 2 s e n   x   s e n   x   + cos ⁡ x     d x

Passo 1

a)Galera, vamos começar fazendo uma substituição:

u = a - x   → x = a - u

d x = - d u

Isso quer dizer que quando x = 0 , temos u = a , e, quando x = a , temos u = 0 . Ok ?

Assim,

I = ∫ 0 a f x f x + f a - x d x = - ∫ a 0 f a - u f a - u + f u d u = ∫ 0 a f a - u f a - u + f u d u  

Galerinha, nessa penúltima integral nós usamos essa propriedade aqui:

∫ b a f x = - ∫ a b f x

Se lembram dela ?!

Nós também podemos escrever isso aqui:

∫ 0 a f a - x f a - u + f u d x

Aqui nós só mudamos a variável, porque os extremos de integração continuam o mesmo, oK ?

Agora, nós podemos somar a nossa integral inicial com a nossa integral final:

∫ 0 a f x f x + f a - x d x +   ∫ 0 a f a - x f a - x + f x d x

= ∫ 0 a f x + f a - x f a - x + f x d x

= ∫ 0 a d x = a

Isso quer dizer que:

2   I = a   → I = a 2

Finalmente acabamos! (esse item hahaha)

Let´s go people para o próximo item!

Passo 2

b)Fazendo f x = x , temos:

∫ 0 3 x x + 3 - x   d x =   ∫ 0 3 f ( x ) f ( x ) + f ( 3 - x )   d x = 3 2  

Passo 3

c)Fazendo:

f x = s e n   x

Temos,

f π 2 - x =   s e n   π 2 - x

= s e n   π 2 - x

= s e n   π 2 cos ⁡ x - s e n   x cos ⁡ π 2

= cos ⁡ x  

Dessa forma,

∫ 0 π 2 s e n   x   s e n   x   + cos ⁡ x     d x = ∫ 0 π 2 f ( x )   f ( x )   + f π 2 - x   d x = π 4

Agora sim, fim !

Resposta

a)Demonstração acima.

b)   3 2

c)   π 4

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