Enunciado

48-Um ângulo central que mede θ radianos subentende uma coordenada de comprimento c ( θ ) e um arco circular de comprimento s ( θ ) no círculo da figura abaixo. Usando sua intuição, qual seria a conjectura sobre o valor de lim θ → 0 + ⁡ c θ s θ ? Verifique sua conjectura calculando o limite.

Passo 1

Galerinha, nós temos que:

c θ 2 = s e n   θ 2

Assim,

lim θ → 0 + ⁡ c θ θ = lim θ → 0 + ⁡ 2   c θ 2 θ = lim θ → 0 + ⁡ 2   s e n   θ 2 θ

Passo 2

Gente, a única forma de resolvermos o limite acima é utilizando o limite trigonométrico fundamental:

lim x → 0 ⁡ s e n   x x = 1

Maxxx o nosso limite está um pouco diferente do que deveria ser, né ?

Então, vamos ajustar esse limite. Dividindo o numerador e o denominador por 2, nós não alteramos a fração e fazemos com que o denominador fique igual ao argumento do seno.

Assim,

lim θ → 0 + ⁡ 2   s e n   θ 2 2 θ 2 = 1

Fim!

Resposta

1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9-14 Determine onde f é contínua.10. f (x) = arccos (l n x)
50. Será a função f (x) = {[[(s e n x)/(|x|) , x != 0],[1 , x = 0]]) contínua em x = 0 ? Explique.
53-Encontre underset(x - 1)(lim) (s e n pi x)/(x - 1)
9-14 Determine onde f é contínua.14. f (x) = l n |x| - 2 l n ( x + 3 )
54. Encontre underset(x - (pi)/(4))(lim) (t g x - 1)/(x - (pi)/(4)) .