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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 56

56-Suponha que f seja uma função invertível, tal que f 0 = 0 , f seja contínua em 0 e exista lim x → 0 ⁡ f x x . Sabendo que L =   lim x → 0 ⁡ f x x , mostre que

lim x → 0 ⁡ x f - 1 x = L

[Sugestão: Aplique o Teorema 1.5 . 5 à composição h o g , onde

h x = f ( x ) / x ,     x ≠ 0 L ,     x = 0

e g x = f - 1 x . ]

Passo 1

Galerisss,

g 0 = f - 1 0 = 0 , pois f 0 = 0 .

Se x ≠ 0 , então g ( x ) ≠ 0 , pois g x = f - 1 ( x ) e f - 1 é injetiva, por ser invertível.

Seja

h x = f ( x ) / x ,     x ≠ 0 L ,     x = 0

Assim,

h o g   x = h g x = f ( g ( x ) ) / g ( x ) ,     g ( x ) ≠ 0 L ,     g ( x ) = 0

Mas g x = 0 ⇔ x = 0 . Logo,

h o g   x = f ( g ( x ) ) / g ( x ) ,     x ≠ 0 L ,     x = 0

Passo 2

Como f g x = f f - 1 x = x , temos:

h o g   x = x / f - 1 ( x ) ,     x ≠ 0 L ,     x = 0

Fechou???

Pelo que é dado no enunciado:

lim x → 0 ⁡ h x = lim x → 0 ⁡ f x x = L

Logo, h ( x ) é contínua em zero. Além disso, g ( x ) é contínua em zero, pois g x = f - 1 ( x ) e f ( x ) é contínua em zero. Dessa forma,

h o g ( x ) é contínua em zero, portanto

lim x → 0 ⁡ x f - 1 x =   lim x → 0 ⁡ h o g x = h o g x = L

Para a alegria de todos vocês, chegamos ao fim de mais uma questão.

Resposta

Demonstração acima.

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