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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 33

33. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = - 3 , da região limitada pelas parábolas y = x 2 e y = 1 + x - x 2 .

Passo 1

Vamos entender como esse sólido está disposto e depois usar a fórmula do volume aplicado pra ele.

Passo 2

A região é limitada por y = x 2 e y = 1 + x - x 2 , subtraindo as equações:

1 + x - x 2 - x 2 = - 2 2 x 2 - x - 1 = - ( 2 x + 1 ) ( x - 1 )

O intervalo de x   é [ - 1 2 , 1 ] , onde as retas se encontram.

Um elemento de volume será um anel circular, centrada na reta   y = - 3 , como a questão pede.

Os raios desse anel serão 1 + w i - w i 2 + 3   e   w i 2 + 3 , onde w i é uma porção infinitesimal no eixo x . Show? =]

Passo 3

Pelo teorema 6.1.2 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( f w i ) 2   ∆ i x = π ∫ a b ( f x ) 2 d x

(a área do anel é π ( r 1 2 - r 2 2 ) )

No nosso caso,

V = lim ∆ → 0 ⁡ π ∑ i = 1 n ( 4 + w i - w i 2 ) 2 - ( w i 2 + 3 ) 2 ∆ i x = π ∫ - 1 2 1 ( 4 + x - x 2 ) 2 - ( x 2 + 3 ) 2 d x

V = π ∫ - 1 2 1 [ x 4 - 2 x 3 - 7 x 2 + 8 x + 16 - ( x 4 + 6 x 2 + 9 ) ] d x

V = π ∫ - 1 2 1 ( - 2 x 3 - 13 x 2 + 8 x + 7 ) d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

π ∫ - 1 2 1 ( - 2 x 3 - 13 x 2 + 8 x + 7 ) d x = π - x 4 2 - 13 3 x 3 + 4 x 2 + 7 x   - 1 2 1

= π - ( 1 ) 4 2 - 13 3 ( 1 ) 3 + 4 ( 1 ) 2 + 7 ( 1 ) - - ( - 1 2 ) 4 2 - 13 3 ( - 1 2 ) 3 + 4 ( - 1 2 ) 2 + 7 ( - 1 2 )

= 26 9 32 π

Prontinho, esse é o volume

Resposta

V = 26 9 32 π   u n i d a d e s   c ú b i c a s

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