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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 64

Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados

y = sec ⁡ x ,     y = cos ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π 3 ,     e m   t o r n o   d e   y = - 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o volume do solido obtido pela rotação da região entre y = sec ⁡ x e y = cos ⁡ x , em torno da reta y = - 1 , no intervalo 0 , π 3 .

Pra isso, precisamos lembrar que sendo y = f ( x ) e y = g x duas funções contínuas não negativas em [ a ,   b ] e R a região entre o gráfico de f e g de a até b , então o volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo y = L   é definido por:

V = π ∫ a b f x - L 2 - g x - L 2 d x

Sacou? Basicamente, o que nós vamos fazer é substituir f x = sec ⁡ x , g x = cos ⁡ x , L = - 1 e a ,   b = 0 , π 3 . Depois, vamos calcular a integral para obter o nosso volume de revolução.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo tudo na fórmula do volume, conforme o passo 1 , temos:

V = π ∫ 0 π 3 sec ⁡ x + 1 2 - cos ⁡ x + 1 2 d x

Elevando os termos ao quadrado:

V = π ∫ 0 π 3 sec 2 ⁡ x + 2 sec ⁡ x + 1 - cos 2 ⁡ x - 2 cos ⁡ x - 1 d x

V = π ∫ 0 π 3 ( 2 sec ⁡ x - 2 cos ⁡ x + sec 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x ) d x

Podemos separar essa subtração em quatro integrais:

V = π 2 ∫ 0 π 3 sec ⁡ x d x - 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ x d x + ∫ 0 π 3 sec 2 ⁡ x d x - ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ x d x

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente, as três primeiras são tabeladas, só a ultima que precisamos calcular.

Na primeira, temos:

∫ s e c ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Na segunda, temos:

∫ cos ⁡ ( x ) d x = sin ⁡ x

A terceira:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ x

Passo 4

Agora vamos calcular a última integral:

∫ cos 2 ⁡ x d x

Para calcular esta integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 2 [ 1 + cos ⁡ 2 x ]

Então, substituindo, teremos:

∫ cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 x d x

E integrando:

1 2 x + 1 2 sin ⁡ 2 x

= x 2 + 1 4 sin ⁡ 2 x

Passo 5

Agora que já calculamos todas as integrais indefinidas, podemos substituir no resultado do passo 2 e aplicar os limites de integração. Assim, ficamos com:

V = π 2 ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x - 2 sin ⁡ x + tan ⁡ x - x 2 - 1 4 sin ⁡ 2 x 0 π 3

E aplicando os limites de integração, teremos:

= π 0 + - 4 π - 3 3 24 + 2 ln ⁡ 2 + 3

= - 4 π 2 - 3 π 3 24 + 2 π ln ⁡ 2 + 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = - 4 π 2 - 3 π 3 24 + 2 π ln ⁡ 2 + 3

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1 - Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , do conjunto de todos os pares x ,y tais queM - x 2 + y - 2 2 ≤ 1
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quel) 1 x ≤ y ≤ 1e1 ≤ x ≤ 2 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais qued) 2 x 2 + y 2 ≤ 1ey ≥ 0
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais queg) x 2 ≤ y ≤ x .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que 1 ≤ x ≤ 3e0 ≤ y ≤ x