Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados

y = sen²(x), y = 0, 0 ≤ x ≤ pi, e m t o r n o d e e i x o x

Passo 1

Precisamos lembrar o seguinte, seja y = f ( x ) uma função contínua não negativa em [ a ,   b ] e R a região sob o gráfico de f de a até b . O volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo x , é definido por

V = π ∫ a b f x 2 d x

Então, podemos escrever

V = π ∫ 0 π sin 2 ⁡ x 2 d x

V = π ∫ 0 π sin 4 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente a integral, ∫ sin 4 ⁡ ( x ) d x , pra isso, precisamos aplicar uma formula de redução do expoente de sin ⁡ x . Seja a formula

∫ sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ sin n - 2 ⁡ x d x - cos ⁡ x sin n - 1 ⁡ x n

Para n = 4 , aplicando a formula, ficamos com

∫ sin 4 ⁡ x d x = 3 4 ∫ sin 2 ⁡ x d x - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4

Vamos resolver a integral ∫ sin 2 ⁡ x d x separadamente, aplicando a mesma fórmula, ficamos com

∫ sin 2 ⁡ x d x = 1 2 ∫ 1 d x - cos ⁡ x sin ⁡ x 2 = x 2 - cos ⁡ x sin ⁡ x 2

Juntando, ficamos com

∫ sin 4 ⁡ x d x = 3 4 x 2 - cos ⁡ x sin ⁡ x 2 - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4

∫ sin 4 ⁡ x d x = 3 x 8 - 3 cos ⁡ x sin ⁡ x 8 - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4

Passo 3

Agora, aplicando os limites de integração

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( x ) d x = 3 x 8 - 3 cos ⁡ x sin ⁡ x 8 - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4 0 π = 3 π 8

Podemos agora calcular o volume

V = π ∫ 0 π sin 4 ⁡ ( x ) d x = 3 π 2 8

Resposta

V = 3 π 2 8

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