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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 62

Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados

y = sin 2 ⁡ ( x ) ,     y = 0 ,     0 ≤ x ≤ π ,     e m   t o r n o   d e   e i x o   x

Passo 1

Precisamos lembrar o seguinte, seja y = f ( x ) uma função contínua não negativa em [ a ,   b ] e R a região sob o gráfico de f de a até b . O volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo x , é definido por

V = π ∫ a b f x 2 d x

Então, podemos escrever

V = π ∫ 0 π sin 2 ⁡ x 2 d x

V = π ∫ 0 π sin 4 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Vamos calcular separadamente a integral, ∫ sin 4 ⁡ ( x ) d x , pra isso, precisamos aplicar uma formula de redução do expoente de sin ⁡ x . Seja a formula

∫ sin n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ sin n - 2 ⁡ x d x - cos ⁡ x sin n - 1 ⁡ x n

Para n = 4 , aplicando a formula, ficamos com

∫ sin 4 ⁡ x d x = 3 4 ∫ sin 2 ⁡ x d x - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4

Vamos resolver a integral ∫ sin 2 ⁡ x d x separadamente, aplicando a mesma fórmula, ficamos com

∫ sin 2 ⁡ x d x = 1 2 ∫ 1 d x - cos ⁡ x sin ⁡ x 2 = x 2 - cos ⁡ x sin ⁡ x 2

Juntando, ficamos com

∫ sin 4 ⁡ x d x = 3 4 x 2 - cos ⁡ x sin ⁡ x 2 - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4

∫ sin 4 ⁡ x d x = 3 x 8 - 3 cos ⁡ x sin ⁡ x 8 - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4

Passo 3

Agora, aplicando os limites de integração

∫ 0 π sin 4 ⁡ ( x ) d x = 3 x 8 - 3 cos ⁡ x sin ⁡ x 8 - cos ⁡ x sin 3 ⁡ x 4 0 π = 3 π 8

Podemos agora calcular o volume

V = π ∫ 0 π sin 4 ⁡ ( x ) d x = 3 π 2 8

Resposta

V = 3 π 2 8

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais queb) 1 2 ≤ x ≤ 2e0 ≤ y ≤ 1 x 2
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quee) y ≥ 0 ,1 ≤ x ≤ 2ex 2 - y 2 ≥ 1 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais queh) 0 ≤ y ≤ xex 2 + y 2 ≤ 2 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quef) 0 ≤ x ≤ 1ex ≤ y ≤ 3 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quej) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4ey ≥ 0 .