Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 25
Determine se a série converge ou diverge.
25.
Passo 1
Beleza, galera? Mão na massa agora!
O enunciado pede pra gente definir esta série tenebrosa em convergente ou divergente.
Sei que bateu o desespero por ela parecer tão complexa. Por isso vamos usar um outro tipo de comparação: o Teste de Comparação do Limite!
Suponha que seja a série que nos deram, e a série que iremos usar para comparar.
Se fizermos
Onde é um número finito e , então ambas as séries ou convergem ou ambas divergem.
Como não nos deram uma série para comparar com a nossa, vamos pensar em uma que conhecemos a convergência e que seria top fazer o limite dela, belê?
Passo 2
Para nossa fórmula da comparação do limite já temos o valor de , ou seja, já temos a série que o enunciado nos deu e estamos investigando a convergência, show?
Ao vamos desenvolver uma série para comparar.
Vamos escolher, da série que temos da questão, a parte dominante (que nos chama atenção, por assim dizer) do numerador dela, que é . Já a parte dominante do denominador é o . Assim podemos supor que a nova série que iremos fazer a comparação é:
Simplificando a raiz (já que temos um expoente dentro de uma raiz quadrada) e depois dividir a fração por :
Acabamos encontrando uma série harmônica, galera, que é sempre divergente!
Passo 3
Agora vamos incluir tudo na fórmula da comparação do limite.
Como temos uma divisão de frações, então invertemos o denominador multiplicando-o.
Colocando do denominador em evidência:
Colocando em evidência no numerador:
Como em o expoente pode ser reduzido por conta da raiz quadrada, então
Colocando em evidência no denominador e simplificando:
Agora calculando o limite:
Lembrando que tende a zero, então:
Veja que, se o resultado do limite deu um valor finito e positivo, a gente pode fazer a comparação. E como é uma série divergente, então a série dada na questão também só pode ser divergente!