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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 1

Use a regra da cadeia para achar d z // d t .

z = x^2 + y^2 + x y , x = s e n t e y = e^t

Passo 1

A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar d z // d t . Note que z é uma função de x e y , que são, por sua vez, funções de t . Então, na realidade, z é função do tempo apenas!

Assim, pela regra da cadeia:

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) * (d x)/(d t) + (del z)/(del y) * (d y)/(d t)

As derivadas parciais de z são

(del z)/(del x) = 2 x + y

(del z)/(del y) = 2 y + x

Passo 2

Já as derivadas de x e y com relação a t são:

(d x)/(d t) = cos t

(d y)/(d t) = e^t

Portanto,

(d z)/(d t) = (2 x + y) * cos t + (x + 2 y) e^t

Se quiser escrever tudo em função de t :

(d z)/(d t) = (2 s e n t + e^t) cos t + (s e n t + 2 e^t) e^t

Resposta

(d z)/(d t) = (2 x + y) * cos t + (x + 2 y) e^t

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