Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 11
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala aí pessoal! Precisamos testar se a seguinte série é convergente ou divergente. Preste atenção a uma dica bem importante. Se a série for função racional ou uma função algébrica de , podemos pensar que é possível encontrar uma série parecida com ela do tipo geométrica, ou harmônica, se isso for verdade, faz bastante sentido optarmos pelo método da comparação.
Pegou o pulo do gato!?
O método da comparação serve para saber a convergência de uma séria qualquer a partir de uma série conhecida, parecida com essa. Ou seja, utilizaremos uma série que o resultado já sabemos para aplicar o teorema da comparação na série do exercício.
Nossa série é:
Se a série de comparação :
- Converge e é maior que a nossa série (), então ambas convergem
- Diverge e é menor que a nossa série (), então ambas divergem
Passo 2
Como fazemos para encontrar uma série que seja parecida o suficiente com a série dada?
Uma recomendação é observarmos os termos de maior potência do numerador e do denominador.
De modo que, se:
Então:
Repare, que vamos utilizar uma série , parecida com a série do exercício, e que seus termos no numerador e denominador são os mesmos termos de maior potência do numerador e do denominador da série Tranquilo né? 😎
A série que tempos como referência é uma série do tipo p-série. Vamos recordar o que é uma p-série ?
Toda série do tipo é chamada de série harmônica. O que isso significa ? (Grave muito bem essa informação.) Significa que podemos saber se ela converge ou diverge observando o valor de . A definição é a seguinte:Se é maior que zero, mas menor ou igual a , então a série diverge. Se for maior que a série converge.
Portanto a série que tomamos como referência é convergente, dado que o expoente de , que comumente é chamado de , é maior do que .
Passo 3
Nós já temos uma série para usar como comparação, e também já sabem que a série que vamos utilizar para comparar é convergente:
Vamos nos recordar o que o teorema da comparação ?
Para executar o teorema da comparação, temos que colocar lado a lado a série que queremos descobrir e a série que utilizaremos para comparar.
Comparando, teremos:
Para qualquer , então pelo teorema da comparação a nossa série também é convergente.