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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 28

Se ∑ n = 1 ∞ a n converge, e se 1 > a n > 0 para todo n , mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ ( 1 - a n ) converge. (Sugestão: mostre primeiro que ln ⁡ ( 1 - a n ) ≤ a n 1 - a n .)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série ∑ n = 1 ∞ a n converge e 1 > a n > 0 , para todo n . Nós temos que mostrar que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ ( 1 - a n ) converge. Como 0 < a n < 1 , então temos que

ln ⁡ 1 - a n = - ln ⁡ 1 - a n = a n + a n 2 2 + a n 3 3 + …

Que pela desigualdade

ln ⁡ 1 - a n < a n + a n 2 + a n 3 + … = a n 1 + a n + a n 2 + …

Pelo exercício temos que

a n 1 + a n + a n 2 + … = a n 1 - a n

Com isso, nós temos que

ln ⁡ 1 - a n < a n 1 - a n

Como ∑ n = 1 ∞ a n converge, nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ a n 1 - a n converge, logo, pelo teste da comparação, temos que a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ ( 1 - a n ) converge.

Resposta

Respondido acima!

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Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 2 n 3 + 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ k = 1 ∞ k 3 k 3 + 4 k + 3
Determine se a série converge ou diverge. ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k
3-32. Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(n^2 - 1))
Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode