Se ∑ n = 1 ∞ a n converge, e se 1a n0 para todo n , mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ ( 1 - a n ) converge. (Sugestão: mostre primeiro que ln ⁡ ( 1 - a n ) ≤ a n 1 - a n .)

Enunciado

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série converge e , para todo . Nós temos que mostrar que converge. Como , então temos que

Que pela desigualdade

Pelo exercício temos que

Com isso, nós temos que

Como converge, nós sabemos que converge, logo, pelo teste da comparação, temos que a série converge.

Respondido acima!