Prove que ∑ n = 1 ∞ ( a n / ( 1 + a n ) ) converge se a_n > 0 para todo n e ∑ n = 1 ∞ a n converge.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Se ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente isso indica que a n → 0 quando n → ∞ .

Aplicando o teste do limite da comparação, temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n 1 + a n a n =   lim n → ∞ ⁡ 1 1 + a n = 1   ≠ 0

Sendo assim, a série ∑ n = 1 ∞ ( a n / ( 1 + a n ) ) converge.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

Exercícios de Livros Relacionados