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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 90

Prove que sum_(n = 1)^(oo) ( a_n // ( 1 + a_n ) ) converge se a_n > 0 para todo n e sum_(n = 1)^(oo) a_n converge.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Se sum_(n = 1)^(oo) a_n é convergente isso indica que a_n -> 0 quando n -> oo .

Aplicando o teste do limite da comparação, temos que:

underset(n -> oo)(lim) (((a_n)/(1 + a_n)))/(a_n) = underset(n -> oo)(lim) (1)/(1 + a_n) = 1 != 0

Sendo assim, a série sum_(n = 1)^(oo) ( a_n // ( 1 + a_n ) ) converge.

Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1
Determine se a série converge ou diverge.5. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n
Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 2 ∞ 1 ln ⁡ n ln ⁡ n
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ 1 k k 2 + 1