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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 1

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 1-4 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas?

∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 2 n + ( 1 / 2 )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 2 n + ( 1 / 2 )

Note que,

a n = 1 3 n - 2 n + ( 1 / 2 ) = 1 3 n - 2 ( 2 n + 1 ) / 2 < 1 3 n - 2 3 / 2

Agora, vamos provar que a série

∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 2 3 / 2

converge pelo teste do limite da comparação.

Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2   que é uma p-série convergente com p = 3 2 > 1 .

Aplicando o teste, temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 / 2   1 3 n - 2 3 / 2 = l i m n → ∞ 3 n - 2 n 3 / 2 = l i m n → ∞ 3 3 / 2 = 3 3 / 2 ≠ 0  

Assim sendo, por comparação, como:

1 3 n - 2 n + ( 1 / 2 ) < 1 3 n - 2 3 / 2 < 1 n 3 / 2  

E a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2   converge, logo a série ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 2 n + ( 1 / 2 ) também converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Por comparação, a série converge.

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