Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 80
O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola. Prove que a.
Passo 1
Fala aí, pessoal.
Bom galera, a questão diz pra gente que a função
É uma parábola. E ela pede pra gente provar que média das inclinações das retas tangente à parábola nas extremidades de qualquer intervalo é igual à inclinação da reta tangente no ponto médio desse intervalo.
Traduzindo para o matematiques, ele quer, basicamente, que a gente prove que:
Então, repara que precisaremos da função e da sua derivada. Assim, faremos:
A gente deriva ela facinho com a regra geral e a regra da soma e dá nisso:
Beleza.
Passo 2
Agora, vamos encontrar as derivada para pontos genéricos que serão os extremos do nosso suposto intervalo, onde e . Assim:
E:
Também a derivada para :
Passo 3
Show de bola, então vamos testar o que o problema quer:
A ideia aqui é substituir dos dois lados da igualdade e ver se os dois lados realmente são iguais. Ok?
Fazendo a distributiva e tirando os parênteses, teremos:
Ajeitando um pouco mais
E dividindo o lado direito por , ficamos com:
E repara só, o lado esquerdo é igual ao lado direito. Pronto, a gente provou que isso é verdade e agora já podemos ir pra próxima questão.
Resposta
Demonstração