Qual é o valor de c tal que a reta y = 2 x + 3 seja tangente para a parábola y = c x 2 ?

Passo 1

Bom galera, o problema quer saber qual o valor de c para que a reta seja tangente, esse reta:

y = 2 x + 3

Onde o valor que multiplica x é o coeficiente angular a , que é igual a 2 . E para essa reta ser tangente à curva, a derivada da curva no ponto de encontro das duas é igual ao coenficiente angular da reta:

y ' ( x ) = a

Passo 2

Beleza, nós precisamos encontrar o ponto para que isso aconteça:

y ' x = 2

Vamos derivar a curva então pela regra geral:

y = c x 2

y ' = 2 c x

Então temos:

2 c x = 2

Isolamos c :

c = 1 x

Passo 3

Show de bola, e agora vamos calcular o ponto em que elas se encontram, pra isso a gente iguala as funções:

f x = y

c x 2 = 2 x + 3

A gente substitui o c que encontramos no passo 2, e resolvemos a equação:

1 x x 2 = 2 x + 3

x = 2 x + 3

x - 2 x = 3

Logo:

x = - 3

E encontramos:

x = - 3

Passo 4

Continuando, vamos calcular c sabendo que x = - 3 , com aquela relação que encontramos no passo 2:

c = 1 x

c = - 1 3

Pronto, deu certinho aí também?

Resposta

c = - 1 3

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