34. Ache o volume d sólido gerado pela otação, emtorno do eixo x, da região limitaa pelo laço da curva cuja equação é 2 * y^2 = x * (x^2 - 4).

Passo 1

de tudo, vamos esboçar o laço dessa curva rotacionadas em relação ao eixo x:

x varia entre -2 a 0.

o raio dessa figura rotacionada seria dado por

2 y 2 = x ( x 2 - 4 )

y 2 = 1 2 x x 2 - 4

y = 1 2 x x 2 - 4

Lembrando que a fórmula do volume é dada por

∫ a b π f x 2 d x

Passo 2

A integral ficará assim:

V = ∫ - 2 0 π 2 ⋅ x ⋅ x 2 - 4 d x

Lembrando que x está variando de -1/2 a 1, por isso que esses são os limites da integral.

V = π 2 ∫ - 2 0 x 3 - 4 x   d x

x 4 4 - 4 x 2 2   | - 2     0  

Substituindo,

π 2 0 - π 2 16 4 - 16 2

Pronto, agora é só continha, Fazendo o mmc

- π 2 16 - 32 4 = 2 π

Resposta

V = 2 π

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