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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

y = 1 x ,   y = 0 , x = 1 , x = 4 ;     e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva:

y = 1 / x

E delimitada sobre as seguintes linhas sobre o eixo x :

y = 0 , x = 1 , x = 4

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo x é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites 1 e 4 .

Passo 3

Dessa forma nossa área do disco terá como raio 1 x e será dada por

A x = π ⋅ 1 x 2 = π / x 2

Então, nosso volume será dado por

V x = ∫ 1 4 A x d x ∴

V x = ∫ 1 4 π x 2 d x ∴

V x = π ⋅ x - 1 - 1 1 4 ∴

V x = π ⋅ - 1 4 - - 1 ∴

V x = π ⋅ 1 - 1 4 ∴

V x = 3 π 4  

Passo 4

Esboçando o sólido e arruela típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo x , temos:

Resposta

3 π 4

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