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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 5

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = 25 - x 2 ,   y = 0 ,   x = 2 ,   x = 4 ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função y apresentada em torno do eixo x :

y = 25 - x 2

Para y = 0 ,   x = 2 ,   x = 4 .

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral:

V = ∫ 2 4 π 25 - x 2 2 d x

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 2 4 π 25 - x 2 d x ∴

V = π 25 x - x 3 3 2 4 ∴

V = π 100 - 50 - 64 3 + 8 3 ∴

V = 94 3 π

Passo 3

Esboçando a região A x = π 25 - x 2 2 no intervalo 2,4 , temos:

Rotacionando essa região em torno do eixo x , temos:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

V = 94 3 π

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