40. A região no primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados, pela reta y=1 e pelas curva y = cotg(x) faz uma rotação em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Antes de tudo, vamos esboçar essas curvas,

Rotacionado-as em torno do eixo x, temos

Antes de começarmos as nossas continhas, é necessário fazer um corte circular na figura, formando assim um disco. Se liga nas ilustrações:

Passo 2

Para o disco rosa, sua área é

A 1 x = π 1 2

Para o disco verde,

A 2 x = π c o t g x 2

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ 0 π 4 π ⋅ A 1 x d x +   ∫ π 4 π 2 π ⋅ A 2 x d x  

x está variando de 0 até π 4 na primeira integral, para chegar nessa mesma conclusão basta igualar as curvas.

1 = c o t g x ⇒ x = π 4

Além disso, a curva y = c o t g x   toca no eixo x quando x = π 2 , por isso que na segunda integral está variando de π 4   a π 2 .

Substituindo A 1 x   e   A 2 x :

V = ∫ 0 π 4 π ⋅ π d x +   ∫ π 4 π 2 π ⋅ π c o t g 2 x   d x  

Para resolver a segunda integral, usaremos uma relação trigonométrica:

c o t g 2 x = c o s s e c 2 x - 1

π 2   x   | 0 π 4     +   π 2 ∫ π 4 π 2 c o s s e c 2 x - 1   d x  

π 3 4 + π 2   - c o t g x - x | π 4 π 2

π 3 4 + π 2   - c o t g π 2 - π 2 - π 2   - c o t g π 4 - π 4

Resolvendo essas continhas, encontraremos que o volume é π

Resposta

V = π  

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