40. A região no primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados, pela reta y=1 e pelas curva y = c o t g x, faz uma rotação em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.

Enunciado

Antes de tudo, vamos esboçar essas curvas,

Rotacionado-as em torno do eixo x, temos

Antes de começarmos as nossas continhas, é necessário fazer um corte circular na figura, formando assim um disco. Se liga nas ilustrações:

Para o disco rosa, sua área é

Para o disco verde,

A integral ficará assim:

x está variando de 0 até na primeira integral, para chegar nessa mesma conclusão basta igualar as curvas.

Além disso, a curva toca no eixo x quando , por isso que na segunda integral está variando de .

Substituindo :

Para resolver a segunda integral, usaremos uma relação trigonométrica:

Resolvendo essas continhas, encontraremos que o volume é