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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 4

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

y = e x ,   y = 0 , x = - 1 , x = 1       e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva:

y = e x

E delimitada sobre as seguintes linhas sobre o eixo x :

y = 0 , x = - 1 , x = 1

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo x é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites - 1 e 1 .

Passo 3

Dessa forma nossa área do disco terá como raio e x e será dada por

A x = π ⋅ e x 2 = π ⋅ e 2 x

Então, nosso volume será dado por

V = ∫ - 1 1 A x d x ∴

V = ∫ - 1 1 π ⋅ e 2 x d x ∴

V = π ⋅ e 2 x 2 - 1 1 ∴

V = π ⋅ e 2 2 - e - 2 2

Passo 4

Esboçando o sólido e disco típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo x , temos:

Resposta

V = π ⋅ e 2 2 - e - 2 2

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