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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 55b

55- Determinação de volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y = cos ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π / 2 , em torno

  1. Da reta π 2 .

Passo 1

Ficou meio esquisito essa questão mas é na reta x = π 2

O que muda nossa eixo girante para a reta azul da figura acima.

O que faz com que nossa integral utilizando o método das cascas cilíndricas fique:

V = 2 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ x   π 2 - x d x

Passo 2

Fazendo a distributiva dentro da integral:

V = 2 π ∫ 0 π 2 π 2 cos ⁡ x   d x - ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x   d x

Sabendo que ∫ c o s   x = sin ⁡ x e que da letra passada que ∫ x c o s   x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x  

Logo temos que a integral será:

V = 2 π π 2 sin ⁡ x - ( x sin ⁡ x + cos ⁡ x ) 0 π 2

Passo 3

Aplicando o intervalo temos:

V = 2 π π 2 sin ⁡ π 2 - ( π 2 sin ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 ]           - 2 π π 2 sin ⁡ 0 - π 2 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0

V = 2 π π 2 - π 2 + 0 - 2 π 0 - 0 + 1

V = 0 + 2 π

Resposta

V = 2 π

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