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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 56a

56- Determinação de volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelo eixo das abcissas e pela curva y = x s e n   x , 0 ≤ x ≤ π , em torno

  1. Do eixo das ordenadas

Veja o gráfico do Exercício 51.

Passo 1

Gráfico do exercício 51.

Como queremos a rotação no intervalo dado pela questão utilizando o método das cascas cilíndricas nos dá:

V = 2 π ∫ 0 π x x   s e n   x d x

Passo 2

Temos a seguinte integral para resolver:

V = 2 π ∫ 0 π x 2 s e n   x d x

Utilizando a integração tabular para resolver essa integral temos:

f x = x 2                                                                   g x = s e n   x

                                                                                                                          s e n   x  

  f x = x 2                   → +                                             ∫ g x = - c o s x

f ' x = 2 x           → ( - )                                               ∫ ∫ g x = - sin ⁡ x

f ' ' x = 2                       → ( + )                                   ∫ ∫ ∫ g x = c o s x

O que faz com que a equação final seja:

∫ x 2 s e n   x = - x 2 cos ⁡ x + 2 x s i n   x + 2 cos ⁡ x

Substituindo na integral temos:

V = 2 π - x 2 cos ⁡ x + 2 x s i n   x + 2 cos ⁡ x 0 π

Passo 3

Utilizando o intervalo temos:

V = 2 π [ - π 2 cos ⁡ π + 2 π sin ⁡ π + 2 cos ⁡ π ] - 2 π [ - 0 + 0 + 2 cos ⁡ 0 ]

V = 2 π π 2 + 0 - 2 - 4 π

V = 2 π 3 - 4 π - 4 π = 2 π 3 - 8 π

V = 2 π [ π 2 - 4 ]

Resposta

V = 2 π [ π 2 - 4 ]

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região abaixo (região do exercício 34) em torno do eixo y .
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37. Um paraboloide de revolução é obtido fazendo girar a parábola y 2 = 4 p x em torno do eixo x. Ache o volume limitado por um paraboloide de revolução e um plano perpendicular a seu eixo, se o plano