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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 49

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m θ → 0 θ - s e n θ c o s θ t g θ - θ  

Passo 1

Substituindo o limite, obtemos como resultado uma indeterminação do tipo 0 0 :

l i m θ → 0 θ - s e n θ c o s θ t g θ - θ = 0 - s e n 0 c o s 0 t g 0 - 0 = 0 - 0 0 = 0 0  

Passo 2

Para aplicar o L’Hopital, derivamos o termo com l i m no numerador e no denominador. As derivadas serão dadas por:

l i m θ → 0 θ ' - s e n ' θ c o s θ - s e n θ c o s ' θ t g ' θ - θ ' = l i m θ → 0 1 - c o s θ c o s θ - s e n θ ( - s e n θ ) s e c 2 θ - 1 =

= l i m θ → 0 1 - c o s 2 θ + s e n 2 θ s e c 2 θ - 1

Passo 3

Se a gente lembrar das propriedades trigonométricas, podemos escrever:

t g 2 θ + 1 = s e c 2 θ → t g 2 θ = s e c 2 θ - 1

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1 → s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

Passo 4

Vamos agora substituir essas duas relações no limite lá em cima:

l i m θ → 0 s e n 2 θ + s e n 2 θ t g 2 θ = l i m θ → 0 2 ⋅ s e n 2 θ t g 2 θ = 2 ⋅ l i m θ → 0 s e n 2 θ t g 2 θ

Passo 5

Agora a gente pode abrir a t g ( θ ) :

2 ⋅ l i m θ → 0 s e n 2 θ s e n 2 θ c o s 2 θ = 2 ⋅ l i m θ → 0 s e n 2 ( θ ) 1 ⋅ c o s 2 ( θ ) s e n 2 ( θ ) = 2 ⋅ l i m θ → 0 c o s 2 ( θ ) = 2

Resposta

l i m θ → 0 θ - s e n θ c o s θ t g θ - θ = 2

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Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → π 2 - ⁡ x - π 2 sec ⁡ x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim θ → 0 ⁡ 1 2 θ - 1 θ
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → π 2 - ⁡ π 2 - x tg ⁡ x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → ∞ ⁡ log 2 ⁡ x log 3 ⁡ ( x + 3 )
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim y → 0 ⁡ a y + a 2 - a y