35.Um dia em um campus universitário com 5.000 alunos, onde se esperava uma assembleia estudantil um aluno ouviu que certo estudande polêmico iria fazer, durante a assembleia, um discurso explosivo. Essa informação foi transmitida para amigos que, por sua vez, a transmitiram a outros. A taxa com que se espalhou a informação é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que ouviram a informação e ao número de pessoas que não a ouviram. (a) se após 10min 144 pessoas ouviram a informação, ache o modelo matemático que descreve a divulgação da notícia. Quantas pessoas terão ouvido a notícia (b) após 15min e (c) após 20min? (d) Quantas pessoas eventualmente ouvirão a notícia?

Como foi dito no enunciado da questão, a taxa com que se espalhou a informação é proporcional, sendo assim ela pode ser escrita como:

Passando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de t para o outro ficamos com:

Integrando ambos os lados da equação vem:

Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos os valores das constantes C e k , deixando a expressão somente em função do tempo:

Logo a nossa expressão fica igual a :

Do enunciado também, temos que:

Logo a nossa expressão fica igual a :

Letra (a)

Ao explicitarmos em função de y nossa função fica da seguinte forma:

Letra (b)

Para t=15min, teremos que:

Letra (c)

Para t=20min, teremos que:

Letra (d)

Para descobrir quantas pessoas eventualmente ouvirão a notícia basta descobrirmos qual será o valor limite da função . Sendo assim:

Logo, todas as 5000 pessoas ouvirão o rumor.