Exercício: 46 – Calcule a integral abaixo:

∫ 1 x 1 3 - 1 x d x

Seja: x = u^6

Passo 1

Seja: x 1 3 =   x 3

∫ 1 x 3 - 1 x d x

Resolvendo por udu:

u 6 = x  

d x = 6 u 5 d u

∫ 1 u 6 3 - 1 u 6 6 u 5 d u = ∫ 6 u 5 u 2 - 1 u 3 d u =   ∫ 6 u 2 u 2 - 1 d u  

Resolvendo a divisão de:

6 u 2 u 2 - 1 = 6 + 6 u 2 - 1

Assim:

∫ 6 + 6 u 2 - 1 d u = 6 ∫ d u +   ∫ 6 u 2 - 1 d u

6 u + ∫ 6 u 2 - 1 d u

u 2 - 1 = ( u + 1 ) ( u - 1 )

Passo 2

Utilizando pelo método de frações parciais:

6 u 2 - 1 = A u + 1 + B u - 1

Tirando mmc:

6 u 2 - 1 = A u - 1 + B ( u + 1 ) u 2 - 1

Poderemos simplificar os denominadores e ficaremos com:

6 = A u - 1 + B ( u + 1 )

Realizando a forma distributiva:

6 = A u - A + B u + B

Agrupando os conjuntos:

6 = A + B u - A + B

Assim:

A + B = 0

- A + B = 6

B = 6 + A

A + 6 + A = 0     2 A + 6 = 0   2 A = - 6   ; A = - 6 2 ; A = - 3

Para A = - 3 logo B será: B =   6 - 3   |   B = 3

Para A = - 3 e B = 3 substituimos na expressão:

- 3 u + 1 + 3 u - 1

Inserindo na integral:

6 u +   ∫ - 3 u + 1 + 3 u - 1 d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

6 u +   ∫ - 3 u + 1 + 3 u - 1 d u

Separando em integrais:

6 u - 3 ∫ 1 u + 1 d u + 3 ∫ 1 u - 1 d u

6 u - 3 ln ⁡ u + 1 + 3 ln ⁡ u - 1

Dado: u 6 = x   ; u = x 1 6

Substituindo:

6 x 1 6 + 3 ln ⁡ x 1 6 - 1 x 1 6 + 1 + C

Resposta

6 x 1 6 + 3 ln ⁡ x 1 6 - 1 x 1 6 + 1 + C

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