Determine os comprimentos das curvas nos Exercícios 17-20.18. x = y^(2/3), 1 ≤ y ≤ 8

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula do comprimeto do arco:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

A única diferença é que nossa equação é uma função de y e não de x , então a fórmula fica:

L = ∫ a b 1 + f ' y 2 d y

Vamos derivar a função dada, para acharmos f ' y :

f ' y = 2 y - 1 / 3 3

Aplicando na integral, com limites de integração a = 1 e b = 8 :

L = ∫ 1 8 1 + 2 y - 1 / 3 3 2 d y

L = ∫ 1 8 1 + 4 9 y 2 / 3 d y

L = ∫ 1 8 9 y 2 / 3 + 4 9 y 2 / 3 d y

L = ∫ 1 8 9 y 2 / 3 + 4 3 y 1 / 3 d y

L = 1 3 ∫ 1 8 9 y 2 / 3 + 4 ⋅ y - 1 / 3 d y

Vamos usar a técnica de substituição:

u = 9 y 2 / 3 + 4

d u = 6 y - 1 / 3 d y

Mudando os limites de integração:

Quando y = 1 ⇒ u = 13 e y = 8 ⇒ u = 40

L = 1 3 ∫ 13 40 u 6 d u    

L = 1 18 2 u 2 / 3 3 13 40  

L = 1 18 2 40 2 / 3 3 - 1 18 2 13 2 / 3 3

L ≈ 7,634

Resposta

L ≈ 7,634

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