Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 37
37. O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto (x,y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x-3. Ache uma equação da curva.
Passo 1
Vamos primeiramente entender as informações que nos foram dadas. Temos um ponto (3,2) isso significa que para nossa curva, quando x=3 então f(x)=y=2. Sabe-se por base teórica que ao derivarmos uma função encontramos a inclinação de sua reta tangente, seguindo a mesma linha de pensamento, se integrarmos a inclinação da reta tangente encontramos a primitiva ( a curva procurada). Vamos ao trabalho.
Passo 2
Sabemos agora que para achar a equação da curva precisamos integrar a inclinação da reta tangente. Vamos chamar a função da inclinação da reta tangente de e a equação da curva (ou primitiva) de Dessa forma temos a seguinte analise:
Logo, a primitiva pode ser encotrada da seguinte forma:
Pronto, estamos perto de encontrar a equação da curva desejada.
Passo 3
Agora que integramos a inclinação da reta tangente, vamos analisar o ponto que nos foi dado pelo exercício. O ponto (3,2) significa que quando o x=3, y=2, dessa forma podemos escrever da seguinte maneira.
Se x=3 entao F(x)=2 ؞ F(3)=2. Isso significa que se substituirmos x por 3 na função da curva encontramos o valor 2. Com isso podemos achar a constante da curva.
Com isso temos todas as partes fundamentais da equação da curva.
Resposta
Portanto nossa resposta final é: