Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 14
Encontre a integral indefinida geral.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar a integral indefinida gral dada por:
A ideia na hora de fazer uma integração é sempre verificar se podemos reescrever a função que está sendo integrada de uma forma mais simples. Isso ajudará a gente a encontrar o melhor método de integração.
E podemos observar que nossa função é formada por uma divisão de por , e tudo isso está elevado ao quadrado.
Vamos então abrir essa expressão e ver como isso pode nos ajudar.
Vem comigo.
Passo 2
Vamos começar distribuindo o quadrado para o numerador e para o denominador. Assim, ficamos com:
Perfeito. Agora observer que no numerador se formou um produto notável que chamamos de quadrado da soma. Sua forma geral é do tipo:
Com isso, temos que a expressão ao quadrado é igual a:
Assim, podemos substituir isso na integral, que se torna:
Outra coisa que podemos fazer é colocar o que está dividindo em todos os termos. Assim:
E simplificando, ficamos com:
Perfeito, agora podemos nos preocupar em integrar cada um deles. Como se trata de uma soma, podemos abrir essa integral em três, ficando com:
Agora vamos à integração.
Passo 3
Podemos achar as primitivas da função lembrando que:
Agora é só aplicar:
Mas antes, vamos subir esses denominadores colocando o expoente negativo em cada um deles.
Assim, nossa integração se torna:
E resolvendo, teremos:
Lembrando sempre da constante de integração.
E prontinho.