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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 37

37) Três postos de escuta estão localizados nos pontos A ( 0,0 ) , B ( 0 , 21 4 ) ,   C ( 25 3 , 0 ) , a unidade de comprimento é o quilômetro. Microfones localizados nesses pontos mostram que uma arma está 5 3   k m mais próxima de A do que de C e 7 4   k m mais próximo de B do que de A. Determine a posição da arma usando a Definição 10.3.1.

Passo 1

Primeiramente vamos ilustrar a situação:

Para encontramos o ponto P(x,y) iremos encontrar a equações das duas hipérboles e resolver o sistema, uma vez que o ponto P é a interseção das duas.

Passo 2

Equação da primeira hipérbole

Sendo A e C os focos, temos:

- Cálculo do parâmetro a

P A - P C = 2 . a

x + 5 3 - x = 2 . a

5 3 = 2 . a

a = 5 6

-Cálculo do parâmetro c

2 . c = 25 3

c = 25 6

-Cálculo do parâmetro b

c 2 = a 2 + b 2

25 6 2 = 5 6 2 + b 2

b 2 = 600 36

Logo, a equação da hipérbole será:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x - 25 6 2 5 6 2 - y 2 600 36 = 1

Passo 3

Equação da segunda hipérbole

Sendo A e C os focos, temos:

- Cálculo do parâmetro a

P A - P C = 2 . a

x - 7 4 - x = 2 . a

7 4 = 2 . a

a = 7 8

-Cálculo do parâmetro c

2 . c = 21 4

c = 21 8

-Cálculo do parâmetro b

c 2 = a 2 + b 2

21 8 2 = 7 8 2 + b 2

b 2 = 392 64

Logo, a equação da hipérbole será:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

x - 21 8 2 7 8 2 - y 2 392 64 = 1

Passo 4

Por fim, o ponto onde se encontra a arma será a interseção das hipérboles:

x - 25 6 2 5 6 2 + y 2 600 36 = 1                 ( I )

x - 21 8 2 7 8 2 + y 2 392 64 = 1           ( I I )

Resolvendo o sistema das equações (I) e (II), obtemos:

P ( 3,4 )

Resposta

P ( 3,4 )

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