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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 37

(a) Utilize as diferenciais para achar uma fórmula para o volume aproximado de uma fina camada cilíndrica com altura h , raio interno   r e espessura Δ r .

(b) Qual é o erro envolvido no uso da fórmula da parte (a)?

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a fórmula do volume aproximado de uma fina camada cilíndrica com altura h , raio interno   r e espessura Δ r .

Para isso, devemos saber que o volume V de um cilindro é dado por:

V = h π r 2

Com isso, devemos derivar em função de r e observar o comportamento da casca cilíndrica.

Em seguida, para descobrirmos o erro E , temos que:

E = Δ V - d V

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Item a:

Bom... O volume de um cilindro é dado por:

V = h π r 2

Agora, vamos obter a relação diferencial derivando V em função de r :

d V = 2 π h r   d r

Neste caso d V é a aproximação da variação do volume em função de um acréscimo Δ r = d r no raio r .

Logo, é justamente d V = 2 π h r   d r que nos dá o volume dessa casca cilíndrica.

Passo 3

Item b:

O erro E é dado pela diferença entre o valor real e a aproximação:

E = Δ V - d V

E = [ h π ( r + Δ r ) 2 - h π r 2 ] - 2 π h r   d r

E = h π ( r 2 + 2 r Δ r + Δ r 2 ) - h π r 2 - 2 π h r   d r

E = h π r 2 + 2 h π r Δ r + h π Δ r 2 - h π r 2 - 2 π h r   d r

E = h π Δ r 2

Resposta

(a) d V = 2 π h r   d r

(b)   E = h π Δ r 2

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