37-40. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

37. Não existe uma função diferenciável F(x) alguma tal que F'(x) = |x| .

Passo 1

Então galera, aqui temos que pensar em uma função que refute a afirmação. Caso não encontremos nenhuma função que refute, então a tendência vai ser provarmos de que é verdadeira. Vamos considerar a seguinte função, assim como proposto pelo enunciado:

f x = x

A restrição para esse módulo é:

f x = x ,       x ≥ 0 - x ,       x < 0

E a integral dessa função é:

F x = x 2 2 ,       x ≥ 0 - x 2 2 ,       x < 0

Então encontramos uma função diferenciável F x tal que F ' x = x . Sendo assim, podemos concluir que a afirmação é falsa!

Resposta

A afirmação é falsa.

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