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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 38

37-48. Calcule a integral.

38. int (d x)/(sqrt(2 x - x^2))

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

2 x - x^2 = - (x^2 - 2 x) + 1 - 1

2 x - x^2 = 1 - (x - 1)^2

Substituindo na nossa integral:

int (d x)/(sqrt(2 x - x^2)) = int (d x)/(sqrt(1 - (x - 1)^2))

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 1

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (d x)/(sqrt(1 - (x - 1)^2)) = int (d u)/(sqrt(1 - u^2))

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

int (d u)/(sqrt(1 - u^2)) = a r c sin u + C

Como u = x - 1 , então:

int (d x)/(sqrt(2 x - x^2)) = a r c sin (x - 1) + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

int (d x)/(sqrt(2 x - x^2)) = a r c sin (x - 1) + C

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Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.10.int (5 d x)/(sqrt(25 x^2 - 9)) , x(3)/(5)
Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.18. ∫ d x x 2 x 2 + 1