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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 18

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

18.

∫ d x x 2 x 2 + 1    

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso I.

Passo 2

Nessa integral podemos usar a substituição trigonométrica onde

x = t g   u d x = 1 c o s 2 u d u = s e c 2 u   d u

Vamos usar também a relação trigonométrica onde

1 + t g 2 ѳ = s e c 2 ѳ

E aí podemos dizer que

x 2 + 1 = sec ⁡ u

E assim nossa integral fica

∫ d x x 2 x 2 + 1     = ∫ 1 t g 2 u ⋅ sec ⁡ u   s e c 2 u   d u   = ∫ sec ⁡ u t g 2 u d u = ∫ 1 cos ⁡ u ⋅ c o s 2 u s e n 2 u   d u = ∫ cos ⁡ u s e n 2 u d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

∫ cos ⁡ u s e n 2 u d u Vamos usar a substituição

v = sen ⁡ u d v = c o s   u   d u

Então ficaremos com

∫ cos ⁡ u s e n 2 u d u = ∫ 1 v 2 d v = - 1 v + C

Isso nos dá

- 1 v + C = - 1 s e n   u + C

Passo 4

Mas x = t g   u     isso nos dá que x = t g   u

1 + t g 2 u = 1 c o s 2 u , então c o s 2 u = 1 1 + t g 2 u

E s e n 2 u = 1 - c o s 2 u

Logo

s e n 2 u = 1 - 1 1 + x 2

Logo

s e n   u = 1 - 1 1 + x 2 = 1 + x 2 - 1 1 + x 2 = x 2 1 + x 2 = x 1 + x 2

Logo

- 1 s e n   u + C = - 1 + x 2 x + C

Resposta

- 1 + x 2 x + C

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