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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 42

37-48. Calcule a integral.

42. int (x)/(x^2 + 2 x + 2) d x

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

x^2 + 2 x + 2 = (x^2 + 2 x + 1) + 1

x^2 + 2 x + 2 = (x + 1)^2 + 1

Substituindo na nossa integral:

int (x)/(x^2 + 2 x + 2) d x = int (x)/((x + 1)^2 + 1) d x

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x + 1

Ademais:

u - 1 = x

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (x)/((x + 1)^2 + 1) d x = int ((u - 1))/(u^2 + 1) d u

int ((u - 1))/(u^2 + 1) d u = int (u)/(u^2 + 1) d u - int (d u)/(u^2 + 1)

E aqui apareceram mais duas integrais para resolvermos, então vamos com calma, resolvendo uma de casa vez, ok? Show!

Passo 3

Para a primeira integral, temos o seguinte, galera:

int (u)/(u^2 + 1) d u

Podemos fazer uma substituição simples, chamando y = u^2 + 1 :

d y = 2 u d u

:. (d y)/(2) = u d u

Substituindo na integral:

(1)/(2) int (d y)/(y) = (1)/(2) ln y + C

Como y = u^2 + 1 , então:

int (u)/(u^2 + 1) d u = (1)/(2) ln |u^2 + 1| + C

E como u = x + 1 , então:

(1)/(2) ln |u^2 + 1| + C = (1)/(2) ln |(x + 1)^2 + 1| + C

E essa é a nossa primeira integral! Agora vamos para a segunda!

Passo 4

A segunda integral que encontramos é essa:

int (d u)/(u^2 + 1)

Que é uma integral tabelada, pessoal. O resultado dessa integral é:

int (d u)/(u^2 + 1) = a r c tan u + C

E como u = x + 1 , então:

a r c tan u + C = a r c tan ( x + 1 ) + C

Portanto, unindo as duas integrais, teremos:

int (u)/(u^2 + 1) d u - int (d u)/(u^2 + 1) = (1)/(2) ln |u^2 + 1| + C - a r c tan u + C

:. int (x)/(x^2 + 2 x + 2) d x = (1)/(2) ln |(x + 1)^2 + 1| - a r c tan (x + 1) + C

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

int (x)/(x^2 + 2 x + 2) d x = (1)/(2) ln |(x + 1)^2 + 1| - a r c tan (x + 1) + C

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