1-26. Calcule a integral.

25. ∫ 1 3 d x x 4 x 2 + 3

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . tan ⁡ θ

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

x 2 + a 2

Comparando a raíz da nossa integral, que é x 2 + 3 com a raíz acima, teremos que:

a = 3

Ademais:

x = 3 . tan ⁡ θ

x 4 = 9 . tan 4 ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 3 . sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 1 3 d x x 4 x 2 + 3 = ∫ 1 3 3 . sec 2 ⁡ θ d θ 9 . tan 4 ⁡ θ 3 . tan 2 ⁡ θ + 3

Simplificando essa coisa toda, teremos:

3 9 ∫ 1 3 sec 2 ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ 3 tan 2 ⁡ θ + 1 = 1 9 ∫ 1 3 sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ

1 9 ∫ 1 3 sec ⁡ θ d θ tan 4 ⁡ θ = 1 9 ∫ 1 3 cos 3 ⁡ θ d θ sen 4 ⁡ θ

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, ou seja, 1 = c o s 2 x + s e n 2 x , teremos:

1 9 ∫ 1 3 cos 3 ⁡ θ d θ sen 4 ⁡ θ = 1 9 ∫ 1 3 1 - s e n 2 θ cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ

Chamando u = s e n   θ , teremos que:

d u = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral:

1 9 ∫ 1 3 1 - s e n 2 θ cos ⁡ θ sen 4 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ 1 3 1 - u 2 u 4 d u

1 9 ∫ 1 3 1 - u 2 u 4 d u = 1 9 ∫ 1 3 u - 4 - u - 2 d u

Resolvendo isso, teremos:

1 9 ∫ 1 3 u - 4 - u - 2 d u = 1 9 - 1 3 u 3 - 1 u 3 1

Voltando a variável θ :

1 9 - 1 3 u 3 - 1 u 3 1 = 1 9 - 1 3 s e n 3 θ + 1 s e n   θ 3 1

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de θ e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

s e n   θ = x x 2 + 3

Substituindo no nosso resultado, teremos:

1 9 - 1 3 x x 2 + 3 3 + 1 x x 2 + 3 3 1 = 1 9 - 1 3 x 2 + 3 3 x 3 + x 2 + 3 x 3 1

Aplicando os intervalos de integração:

1 9 - 1 3 x 2 + 3 3 x 3 + x 2 + 3 x 3 1 = 10 3 + 18 243

∴ ∫ 1 3 d x x 4 x 2 + 3 = 10 3 + 18 243

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 1 3 d x x 4 x 2 + 3 = 10 3 + 18 243

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