1-26. Calcule a integral.25. int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(x^2 + 3))

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(x^2 + 3)) = (10 sqrt(3) + 18)/(243)

Enunciado

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

Comparando a raíz da nossa integral, que é com a raíz acima, teremos que:

Ademais:

E disso tiramos que:

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

Simplificando essa coisa toda, teremos:

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, ou seja, , teremos:

Chamando , teremos que:

Substituindo na nossa integral:

Resolvendo isso, teremos:

Voltando a variável :

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de e queremos em termos de . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

Substituindo no nosso resultado, teremos:

Aplicando os intervalos de integração:

E esse é o nosso resultado, galera!