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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 25

1-26. Calcule a integral.

25. int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(x^2 + 3))

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . tan theta

Pois a raíz que aparece pra nós é do tipo:

sqrt(x^2 + a^2)

Comparando a raíz da nossa integral, que é sqrt(x^2 + 3) com a raíz acima, teremos que:

a = sqrt(3)

Ademais:

x = sqrt(3) . tan theta

x^4 = 9 . tan^4 theta

E disso tiramos que:

d x = sqrt(3) . sec^2 theta d theta

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(x^2 + 3)) = int_1^3 (sqrt(3) . sec^2 theta d theta)/(9 . tan^4 theta sqrt(3 . tan^2 theta + 3))

Simplificando essa coisa toda, teremos:

(sqrt(3))/(9) int_1^3 (sec^2 theta d theta)/(tan^4 theta sqrt(3 (tan^2 theta + 1))) = (1)/(9) int_1^3 (sec theta d theta)/(tan^4 theta)

(1)/(9) int_1^3 (sec theta d theta)/(tan^4 theta) = (1)/(9) int_1^3 (cos^3 theta d theta)/(sen^4 theta)

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, ou seja, 1 = c o s^2 x + s e n^2 x , teremos:

(1)/(9) int_1^3 (cos^3 theta d theta)/(sen^4 theta) = (1)/(9) int_1^3 ((1 - s e n^2 theta) cos theta)/(sen^4 theta) d theta

Chamando u = s e n theta , teremos que:

d u = cos theta d theta

Substituindo na nossa integral:

(1)/(9) int_1^3 ((1 - s e n^2 theta) cos theta)/(sen^4 theta) d theta = (1)/(9) int_1^3 ((1 - u^2))/(u^4) d u

(1)/(9) int_1^3 ((1 - u^2))/(u^4) d u = (1)/(9) int_1^3 (u^(- 4) - u^(- 2)) d u

Resolvendo isso, teremos:

(1)/(9) int_1^3 (u^(- 4) - u^(- 2)) d u = (1)/(9) [- (1)/(3 u^3) - (1)/(u)] (3)/(1)

Voltando a variável theta :

(1)/(9) [- (1)/(3 u^3) - (1)/(u)] (3)/(1) = (1)/(9) [- (1)/(3 s e n^3 theta) + (1)/(s e n theta)] (3)/(1)

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de theta e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

s e n theta = (x)/(sqrt(x^2 + 3))

Substituindo no nosso resultado, teremos:

(1)/(9) [- (1)/(3 ((x)/(sqrt(x^2 + 3)))^3) + (1)/((x)/(sqrt(x^2 + 3)))] (3)/(1) = (1)/(9) [- (1)/(3) ((sqrt(x^2 + 3))^3)/(x^3) + (sqrt(x^2 + 3))/(x)] (3)/(1)

Aplicando os intervalos de integração:

(1)/(9) [- (1)/(3) ((sqrt(x^2 + 3))^3)/(x^3) + (sqrt(x^2 + 3))/(x)] (3)/(1) = (10 sqrt(3) + 18)/(243)

:. int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(x^2 + 3)) = (10 sqrt(3) + 18)/(243)

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

int_1^3 (d x)/(x^4 sqrt(x^2 + 3)) = (10 sqrt(3) + 18)/(243)

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