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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 11

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

11.

int (sqrt(y^2 - 49))/(y) d y , y > 7

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

y = 7 sec u d y = 7 * sec u * t g u d u

Então nossa integral fica

int (sqrt(y^2 - 49))/(y) d y = int (sqrt(y^2 - 49))/(7 sec u) 7 * sec u * t g u d u = int sqrt(y^2 - 49) * t g u d u

Passo 3

Vamos usar a identidade trigonométrica s e c^2 u - 1 = t g^2 u

Então

(y^2)/(49) - 1 = t g^2 u

sqrt((y^2)/(49) - 1) = t g u

sqrt(y^2 - 49) = 7 t g u

Teremos então

int sqrt(y^2 - 49) * t g u d u = int 7 * t g u * t g u d u = 7 int t g^2 u d u

Passo 4

Para facilitar a integral, vamos reescrevê-la

7 int t g^2 u d u = 7 int (s e c^2 u - 1) d u

Passo 5

Vamos calcular primeiro int s e c^2 u d u

Vamos reescrever como

int (1)/(c o s^2 u) d u

Vamos fazer a substituição onde

v = t g u d v = (1)/(c o s^2 u)

Então

int s e c^2 u d u = int d v = v = t g u

Passo 6

A segunda integral é mais simples

int d u = u

Então teremos

7 int (s e c^2 u - 1) d u = 7 [t g u - u] + C

Passo 7

Como y = 7 sec u então u = a r c s e n ((y)/(7))

E também sqrt(y^2 - 49) = 7 t g u

Então nosso resultado fica

7 [t g u - u] + C = [sqrt(y^2 - 49) - 7 a r c s e n ((y)/(7))] + C

Resposta

[sqrt(y^2 - 49) - 7 a r c s e n ((y)/(7))] + C

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