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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 33

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 32 -

∫ c o t g   t 1 - s e n 2 t   d t   0 < t < π 2

Passo 1

Utilizando as propriedades trigonométricas:

c o t g   t = cos ⁡ t s e n   t

Substituindo as propriedades na Integral:

∫ cos ⁡ t   1 - s e n 2 t s e n   t d t

Utilizando a substituição udu:

u = s e n   t ,   d u = cos ⁡ t ,   d t = 1 d u = 1 cos ⁡ t

Substituindo:

∫ cos ⁡ t 1 - u 2 u ⋅ 1 cos ⁡ t d u =   ∫ 1 - u 2 u d u

Passo 2

Utilizaremos a fórmula 47 da página 630:

∫ a 2 - x 2 x d x =   a 2 - x 2 - a ln ⁡ a + a 2 - x 2 x + C

Assim temos a = 1

∫ 1 - u 2 u d u =   1 - u 2 - 1 ln ⁡ 1 + 1 - u 2 u + C

Passo 3

Agora vamos substituir para u = s e n   t

1 - s e n 2 t - ln ⁡ 1 + 1 - s e n 2 t s e n   t + C

Resposta

1 - s e n 2 t - ln ⁡ 1 + 1 - s e n 2 t s e n   t + C

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