Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 31
Calcule a integral definida:
Passo 1
Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.
Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.
Como nós temos a expressão , isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.
Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser .
Passo 2
Façamos então a substituição:
Dessa forma, .
Passo 3
Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável . Seja então:
Substituindo na integral:
Aqui nós vamos utilizar a relação . Dessa forma,
Agora utilizamos a relação . Ficamos com:
Prontinho!
Passo 4
Agora vamos resolver a definida.
Sabemos da integral definida que:
Em que é uma primitiva de .
Dessa forma,
E esse é o resultado procurado.