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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 1

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

1.

int (d x)/(sqrt(9 + x^2))

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar, podemos dizer o seguinte

x = 3 * t g ѳ d x = (3 d ѳ)/(c o s^2 ѳ)

Passo 3

Agora a gente pode fazer o seguinte truque

9 + x^2 = 9 + 9 t g^2 ѳ = 9 (1 + t g^2 ѳ) = 9 s e c^2 ѳ

E aí podemos desenvolver o seguinte

(1)/(sqrt(9 + x^2)) = (1)/(sqrt(9 s e c^2 ѳ)) = (1)/(3 | sec ѳ |) = (cos ѳ)/(3)

Passo 4

Agora é só calcular a integral

int (d x)/(sqrt(9 + x^2)) = int (3 cos ѳ)/(3 c o s^2 ѳ) d ѳ = int (1)/(cos ѳ) d ѳ = int sec x d ѳ

Essa integral é

int sec x d ѳ = l n | t g x + sec x | + C

Mas sabemos que

9 + x^2 = 9 s e c^2 ѳ

Então

sec x = (sqrt(9 + x^2))/(3)

E também sabemos que

x = 3 * t g ѳ

Logo

(x)/(3) = t g ѳ

Então nossa resultado fica

ln |(x)/(3) + (sqrt(9 + x^2))/(3)| + C

Resposta

ln |(x)/(3) + (sqrt(9 + x^2))/(3)| + C

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