Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

1.

∫ d x 9 + x 2

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar, podemos dizer o seguinte

x = 3 ⋅ t g ѳ d x = 3   d ѳ c o s 2 ѳ

Passo 3

Agora a gente pode fazer o seguinte truque

9 + x 2 = 9 + 9 t g 2 ѳ = 9 1 + t g 2 ѳ = 9 s e c 2 ѳ

E aí podemos desenvolver o seguinte

1 9 + x 2 =   1 9 s e c 2 ѳ = 1 3 | sec ⁡ ѳ | = cos ⁡ ѳ 3

Passo 4

Agora é só calcular a integral

∫ d x 9 + x 2 = ∫ 3 cos ⁡ ѳ   3   c o s   2 ѳ   d ѳ = ∫ 1 cos ⁡ ѳ   d ѳ = ∫ sec ⁡ x   d ѳ

Essa integral é

∫ sec ⁡ x   d ѳ = l n ⁡ | t g   x + sec ⁡ x | + C

Mas sabemos que

9 + x 2 = 9 s e c 2 ѳ

Então

sec ⁡ x = 9 + x 2 3  

E também sabemos que

x = 3 ⋅ t g ѳ

Logo

x 3 = t g ѳ

Então nossa resultado fica

ln ⁡   x 3 + 9 + x 2 3 + C

Resposta

ln ⁡   x 3 + 9 + x 2 3 + C

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