37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função f .

41- f(x) = 2x + 3 * x^(2/3)

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

f ´ x = 2 + 3 × 2 3 × x - 1 3 =   2 + 2 x 3

Agora, vamos derivar novamente:

f ´ ´ x = - 1 3 × 2 × x - 4 3 = - 2 3 x 4 3

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ ( x ) a zero. Assim, temos:

2 + 2 x 3 = 0

2 x 3 +   2   = 0

2 x 3 +   1 = 0

x 3 = - 1

x = - 1

Vocês acham que só tem esse ponto crítico ???

Se você achou isso, eu já vou te mostrar que temos mais um ponto crítico.

Olha só esse Teorema:

Suponha que f seja uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto x 0 . Se f tiver um extremos relativo em x = x 0 , então x = x 0 será um ponto crítico de f ; assim, ou f ´ x 0 = 0 ou f não é diferenciável em x 0 .

Bom, como f ´ ( x ) não está definida em x = 0 , este também é um ponto crítico.

-Para x = 0 , temos:

f 0 = 0

-Para x = - 1 , temos:

f - 1 = 1

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

-Para x = 0 , temos que fazer o teste da primeira derivada pois para esse x 0 a segunda derivada não está definida.

Assim, vamos verificar o comportamento da f ´ ( x ) antes e depois do zero. Para isso, vamos testar dois pontos, um à esquerda e outro à direita do x 0 . Assim,

f ´ - 0,5 = - 0,52

f ´ 1 = 4

Como f ´ ( 0 ) é negativo à esquerda de 0 e positivo à direita, o ponto ( 0,0 ) é um mínimo relativo.

-Para x = - 1 , temos:

f ´ ´ - 1 = - 2 3

Isso quer dizer que o ponto ( - 1,1 ) é um máximo relativo.

Resposta

( 0,0 ) mínimo relativo.

( - 1,1 ) máximo relativo.

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