Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 41
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos da função .
41-
Passo 1
Galera, vamos começar derivando a função:
Agora, vamos derivar novamente:
Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!
Passo 2
Vamos determinar os pontos críticos igualando a zero. Assim, temos:
Vocês acham que só tem esse ponto crítico ???
Se você achou isso, eu já vou te mostrar que temos mais um ponto crítico.
Olha só esse Teorema:
Suponha que seja uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto . Se tiver um extremos relativo em , então será um ponto crítico de ; assim, ou ou não é diferenciável em .
Bom, como não está definida em , este também é um ponto crítico.
-Para , temos:
-Para , temos:
O próximo passo é saber se , ou . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.
Passo 3
-Para , temos que fazer o teste da primeira derivada pois para esse a segunda derivada não está definida.
Assim, vamos verificar o comportamento da antes e depois do zero. Para isso, vamos testar dois pontos, um à esquerda e outro à direita do . Assim,
Como é negativo à esquerda de e positivo à direita, o ponto é um mínimo relativo.
-Para , temos:
Isso quer dizer que o ponto é um máximo relativo.
Resposta
mínimo relativo.
máximo relativo.