25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

27- f´(x) = (2 - 3x) / raiz(x + 2)³

Passo 1

Gente, a primeira coisa que temos que lembrar aqui são as características de um ponto crítico. Para x 0 , por exemplo, ser um ponto crítico, ou f ´ x 0 = 0 ou f não é diferenciável em x 0 .

Como o exercício já nos deu a primeira derivada, só precisamos igualar ela a zero. Então vamos lá!

Passo 2

Analisando o numerador:

f ´ x = 0

2 - 3 x = 0

x = 2 3

Analisando o denominador:

x + 2 3 = 0

x = - 2

Passo 3

Galera, agora, nós temos que ver o comportamento de f ´ ( x ) nos seguintes intervalos:

- x < - 2 , - 2 < x < 2 3 , x > 2 3 .

Nós podemos ver isso testando alguns valores na função.

Para x < - 2 :

f ´ - 3 = - 11

Para - 2 < x < 2 3 :

f ´ 0 = 1,6

Para x > 2 3 :

f ´ 1 = - 0,69

Dessa forma,

Mas afinal o que isso quer dizer ???

Como f ´ x < 0 à esquerda de x = - 2 e f ´ x > 0 à direita desse mesmo ponto, f tem um mínimo relativo em x = - 2 .

Como f ´ x > 0 à esquerda de x = 2 3 e f ´ x < 0 à direita desse mesmo ponto, f tem um máximo relativo em x = 2 3 .

Resposta

- 2 (mínimo), 2 3 (máximo)

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