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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 37

37-a) Defina o que deveria significar duas curvas se intersectando em ângulo reto.

b)Prove que as curvas y = 1 / x e y = 1 / ( 2 - x ) se intersectam em ângulo reto.

Passo 1

a)Galerinha, isso significa que as retas tangentes a essas curvas se intersecta em x 0   formando um ângulo de 90 ° .Consequentemente,a multiplicação dos coeficientes angulares dessas retas deve resultar em - 1 .Ok ?

Passo 2

b)Quiridos, a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é achar o ponto de interseção dessas curvas. Então vamos ao trabalho!

y 1 = y 2

1 x = 1 2 - x

2 - x = x

2 x = 2

x = 1

Agora, nós temos que achar os coeficientes angulares das retas tangentes. Você se lembra como fazer isso ???

Nós só precisamos derivar as expressões que nós temos para y 1 e y 2 , fechou ?

Pela regra do quociente:

y 1 ´ = 0 x - 1 1 x 2 = - 1 x 2

Usando a regra do quociente, de novo:

y 2 ´ = 0 2 - x - - 1 1 2 - x 2 = 1 2 - x 2  

Por último, vamos o valor de x que nós encontramos nos coeficientes:

a 1 = - 1 1 = - 1

a 2 = 1 1 = 1

Caraaaa, vocês perceberam o mesmo que eu ???

Se nós multiplicarmos os coeficientes angulares o resultado é menos 1... Isso quer dizer que essas curvas se intersectam em um ângulo de 90 ° .

a 1 × a 2 = - 1

Fim!

Resposta

a)As retas tangentes a essas curvas se intersectam formando um ângulo de 90 ° .

b)Demonstração acima.

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Encontre f ' ( x ) :f (x) = ( 2 - x - 3 x^3 ) (7 + x^5)
Calcule a derivada da função f ( x ) : (a) multiplicando e então derivando e depois (b) usando a regra do produto. Verifique que (a) e (b) dão o mesmo resultado. f x = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )
Calcule a derivada da função f ( x ) : (a) multiplicando e então derivando e depois (b) usando a regra do produto. Verifique que (a) e (b) dão o mesmo resultado. f x = ( 3 x 2 - 1 ) ( x 2 + 2 )
Encontre f ' ( x ) :f (x) = (x - 2)/(x^4 + x + 1)
Calcule a derivada da função f ( x ) : (a) multiplicando e então derivando e depois (b) usando a regra do produto. Verifique que (a) e (b) dão o mesmo resultado. f x = ( x + 1 ) ( 2 x - 1 )