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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 40

40- Suponha que a função f seja diferenciável em toda parte e que F x = x   f ( x ) .

a) Expresse F ´ ´ ´ ( x ) em termos de x e das derivadas de f .

b) Para n ≥ 2 , conjecture uma fórmula para F n ( x ) .

Passo 1

a)Usando a regra do produto:

F ´ x = f x + x f ´ ( x )

Derivando e usando a regra do produto, novamente:

F ´ ´ x = f ´ x + f ´ x + x f ´ ´ ( x )

Derivando e usando a regra do produto mais uma vez (eu prometo que essa é a última, hahah):

F ´ ´ ´ x = f ´ ´ x + f ´ ´ x + f ´ ´ x + x   f ´ ´ ´ ( x )

F ´ ´ ´ x = 3   f ´ ´ x + x   f ´ ´ ´ ( x )

Passo 2

b)Galerinha, analisando o item (a), nós podemos chegar a seguinte conclusão:

F n x = n   f n - 1 x + x   f n ( x )

Que tal nós testarmos para ver se funciona ???

F 4 x = 4   f ´ ´ ´ x + x   f 4 ( x )

Fácil, né ????

Resposta

a) F ´ x = f x + x   f ´ ( x )

F ´ ´ x = 2   f ´ x + x   f ´ ´ ( x )

F ´ ´ ´ x = 3   f ´ ´ x + x   f ´ ´ ´ ( x )

b) F 4 x = 4   f ´ ´ ´ x + x   f x 4

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