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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 38

38. Calcule a integral

int_(pi // 4)^(pi // 2) csc^4 (x) cot^4 ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot^2 ( alpha ) + 1 = csc^2 ( alpha ) .

Então, substituindo

int csc^4 (x) cot^4 (x) d x = int cot^4 (x) csc^2 (x) csc^2 (x) d x = int cot^4 (x) (cot^2 (x) + 1) csc^2 ( x ) d x

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = c o t ( x ) , temos que d u = - csc^2 (x) d x , então, substituindo

int cot^4 (x) (cot^2 (x) + 1) csc^2 (x) d x = int u^4 (u^2 + 1) (- d u) = int (- u^6 - u^4) d u

= - (1)/(7) u^7 - (1)/(5) u^5

E agora substituindo novamente u e colocando os limites de integração temos que:

int_(pi // 4)^(pi // 2) csc^4 (x) cot^4 ( x ) d x = (- (1)/(7) cot^7 x^() - (1)/(5) cot^5 x|_(pi // 4)^(pi // 2)

= (- (1)/(7) cot^7 (pi)/(2)^() - (1)/(5) cot^5 (pi)/(2)) - (- (1)/(7) cot^7 (pi)/(4)^() - (1)/(5) cot^5 (pi)/(4))

= (- (1)/(7) 0^7 - (1)/(5) 0^5) - (- (1)/(7) - (1)/(5)) = (12)/(35)

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

int_(pi // 4)^(pi // 2) csc^4 (x) cot^4 ( x ) d x = (12)/(35)

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