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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 17

Calcule a integral.

int s e n x cos 2 x d x

Passo 1

Como temos um produto entre um seno e um cosseno, e eles tem argumentos diferentes, precisamos reescrever a integral, usando essa relação:

s e n alpha cos beta = (1)/(2) [s e n (alpha - beta) + s e n (alpha + beta)]

Nossa integral fica assim:

int s e n x cos 2 x d x = (1)/(2) int s e n (x - 2 x) + s e n (x + 2 x) d x = (1)/(2) int s e n (- x) + s e n (3 x) d x

Como:

s e n (- x) = - s e n (x)

int s e n x cos 2 x d x = (1)/(2) int - s e n ( x ) d x + (1)/(2) int s e n ( 3 x ) d x = (cos x)/(2) + (1)/(2) int s e n ( 3 x ) d x

Passo 2

Agora a gente pode aplicar a substituição simples na integral que ficou:

u = 3 x , (d u)/(d x) = 3 :. (d u)/(3) = d x

Substituindo na nossa integral:

int s e n ( 3 x ) d x = (1)/(3) int s e n u d u = - (cos u)/(3) = - (cos 3 x)/(3)

Voltando para as nossas continhas:

int s e n x cos 2 x d x = (cos x)/(2) + (1)/(2) (- (cos 3 x)/(3)) = (cos x)/(2) - (cos 3 x)/(6) + C

Sem esquecer da constante de integração, já que isso não é uma integral definida.

Resposta

(cos x)/(2) - (cos 3 x)/(6) + C

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