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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 38

38. O custo por hora do combustível para um navio de carga é 1 50 v 3 , onde v nós (milha náutica por hora) é a velocidade do navio. Se houver um custo adicional de $ 400 por hora, qual deverá ser a velocidade média do navio, para que o custo por milha náutica seja mínimo? (1 milha náutica=1,85325 km)

Passo 1

Vamos ter achar um ponto de velocidade para que o custo seja mínimo, mesmo raciocínio de outras questões, precisamos derivar a equação de custo.

Passo 2

Se a velocidade é v nós, para percorrer 1 milha, leva-se 1 v h . Se C ( x ) é o custo total por quilômetro, então C x =   1 50 v 3 + 400 v = 0,02 v 3 + 400 v - 1 , certo?

Passo 3

Queremos que esse custo seja mínimo, então vamos derivar e igualar a 0 pra achar um v que satisfaça isso.

C ' x = 0,06 v 2 + 400 v - 2

Colocando em evidência 0,06 v - 2 :

C ' x = 0,06 v - 2 ( v 4 - 20000 3 )

C ' x = 0

0,06 v - 2 v 4 - 20000 3 = 0

v = 20000 3 4 ≅ 9,04

Passo 4

Agora, vamos avaliar...

Como C ' x < 0 para v < 9,04 e C ' x > 0 para v > 9,04 , o custo C tem um mínimo em v = 9,04   n ó s

Prontinho

Resposta

v = 9,04   n ó s

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