Nos Exercícios 29 e 30, use a expressão competição perfeita. Quando uma empresa funciona em competição perfeita, há muitas firmas pequenas assim, nenhuma empresa afeta o preço ao elevar a sua produção. Portanto, sob competição perfeita o preço de uma mercadoria é constante, e a empresa pode vender quanto desejar, a um preço constante.

29. Sob competição perfeita, uma fábrica pode vender a um preço de $200 por unidade todo o estoque de uma determinada mercadoria produzida. Se for o custo total da produção diária quando unidades são fabricadas, e , ache o número de unidades produzidas diariamente, para que a fábrica tenha um lucro diário total máximo. (Sugestão: o lucro total é igual ao rendimento total menos o custo total.)

Vamos organizar as equações. A de custo é dada, , a de rendimento (R) será proporcional ao número de unidades vendidas por $200, então . Agora o lucro (L) será o rendimento menos o custo, assim:

Substituindo as equações...

Certinho? Essa é a principal equação que vamos usar.

Como queremos lucro máximo, vamos derivar e igualar a zero, aí achamos as unidades diárias para lucro máximo.

Derivando...

Por isso, 40 unidades diárias produzidas dão o desejado lucro máximo.