Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 33
33. Ache a menor distância da origem à reta , e encontre o ponto sobre a reta que esteja mais próximo da origem. Então, mostre que a origem está na reta perpendicular à reta dada em .
Passo 1
Vamos achar a distância e seu valor mínimo, derivando como foi feito nas outras questões, depois localizamos a reta perpendicular à origem.
Passo 2
Vamos chamar de o quadrado da distância da origem até o ponto na reta ; então .
Então
;
Passo 3
Queremos a menor distância, então derivamos :
Vamos avaliar...
Para , e para , . E , que é um ponto de mínimo!
Passo 4
Quando , , então o ponto mais próximo é , com a distância sendo
A reta tem coeficiente angular , a ligação do ponto à origem tem coeficiente angular .
O macete agora é que se 2 retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares e obedecem a relação:
Como os coeficientes atendem essa relação, mostramos que a reta da origem é perpendicular à reta dada em .
Resposta
A menor distância é , ponto .