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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 38

38-

  1. Determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante que cobre a região entre a curva y = 3 / x 3 2 e o eixo x de x = 1   a x = 9 .
  2. . Determine centro de massa de uma placa se, em vez de ser constante, a densidade for δ x = x . (Use faixas verticais.)

Passo 1

A nossa região tem a seguinte cara.

Onde o comprimento da linha vertical tem tamanho:

L = 3 x - 3 2 - 0

Como a largura vale d x , logo essa linha vertical têm área:

d A = 3 x - 3 2 d x

Logo a massa dessa linha será de:

d m = δ 3 x - 3 2 d x

O x médio é o próprio eixo x :

x m = x

O y médio será a média da função:

y m = 3 2 x - 3 2

Passo 2

Letra a)

x - = M y M = ∫ x m   d m ∫ d m                               y - = M x M = ∫ y m   d m ∫ d m

Calculando M temos:

M = ∫ 1 9 3 δ x - 3 2 d x = 3 δ × - 2 x - 1 2 1 9 = - 6 δ 1 3 - 1 = 4 δ

Calculando M y :

M y = ∫ 1 9 δ   x × 3 x - 3 2 d x = 3 δ ∫ 1 9 x - 1 2 d x = 3 δ 2 x 1 2 1 9 = 6 δ [ 3 - 1 ] = 12 δ

E calculando M x :

M x = ∫ 1 9 δ × 3 2 x - 3 2 × 3 x - 3 2 d x = 9 2 δ ∫ 1 9 x - 3 d x = 9 2 δ - x - 2 2 1 9 = 9 2 δ - 1 2 × 9 2 + 1 2 × 1

M x = 9 2 δ 9 2 - 1 2 × 9 2 = 80 36 δ = 20 9 δ

Logo:

x - = 12 δ 4 δ = 3

y - = 20 9 δ 4 δ = 5 9

Passo 3

Letra b) Mesma coisa que a letra anterior mas substituindo δ = x

Logo d m = 3 x - 1 2   d x

Note que a integral de M nesse caso vai ser igual ao de M y só que sem o δ logo:

M = 12

Calculando M y :

M y = ∫ 1 9 x × 3 x - 1 2 d x = 3 ∫ 1 9 x 1 2 = 3 2 3 x 3 2 1 9 = 2 27 - 1 = 52

Calculando M x :

M x = ∫ 1 9 3 2 x - 3 2 × 3 x - 1 2 d x = 9 2 ∫ 1 9 x - 2 d x = 9 2 - x - 1 1 9 = 9 2 - 1 9 + 1 = 9 2 8 9 = 4

Logo:

x - = 52 12 = 13 3

y - = 4 12 = 1 3

Resposta

  1. x - , y - = 3 , 5 9

  2. x - , y - = 13 3 , 1 3
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